parareal : calculer le futur lointain avant le futur proche !?

Quand on résoud une équa. diff. paralléliser en espace est naturel. Mais en temps, ça ne nous vient pas à l'esprit à cause de la dépendence passé future qui n'a pas l'air courcircuitable. Une idée géniale permet de s'affranchir de cette dépendance exacte, en passant par une approximation du futur loinain à qui on associe une distribution de proba pour le "vrai futur". De là on peut calculer en masse plein de scénarios futures, sans savoir à l'avance lequel aura été correct. Donc à posteriori, on choisira (ou interpolera) la bonne solution, quand on aura précisément calculé ce futur qui a servi de point de départ.

Cette technique est très utile car dans la mesure où les ordinateurs atteindront leur limite de performance de calcul, on ne peut que compter sur la parallélisation pour accélérer un calcul, et ici on parvient à paralléliser (en calculant beaucoup de déchets) un problème qui n'avait pas l'air parallélisable.

On va s'intéresser au système d'ODE pour $u:ℝ → ℝ^n$ où $f:ℝ×ℝ^n → ℝ^n$ $$\ca{ ∂_tu(t) & = f(t,u(t)) \\ u(0) & = u_0 }$$ Notons les solvers "classique" $S$ qui pour une paire $(u_0,t_0)$ et le $f$ de l'ODE nous estime $u(t)$ pour un $t$ plus tard $$ S(f,u_0,t_0)(t) ≈ u(t) $$ Où typiquement $S$ peut être le shémas Euler, Runge-Kutta, Stormer Verlet, Bogo integrator ou n'importe quoi d'autre.