On veut solve l'ODE $\frac{∂u}{∂t}(t)=f(t,u)$
Notons
⋅ $u(t)$ la solution exacte de l'ODE
⋅ $u_n$ l'approximation de $u(t_n)$
⋅ $t_1,...,t_N$ une discretisation du temps à pas de $δ_t$ constant
Par différences finies on a $\frac{∂u}{∂t}(t_?) ≈ \frac{u(t_{n+1})-u(t_n)}{δ_t}$ avec ambiguité sur $t_?∈ [t_n,t_{n+1}]$
Les deux extrêmes, pluggées dans l'ODE, nous donnent les fameux schémas $$\al{ \frac{u_{n+1}-u_n}{δ_t} & = f(t_n,u_n) && \text{Forward Euler}\\ \frac{u_{n+1}-u_n}{δ_t} & = f(t_{n+1},u_{n+1}) && \text{Backward Euler} }$$
$$\al{ f(x)=\underset{x→a}{\mathcal{O}}(g(x)) & \iff ∃M, ∃x_0, ∀x\geq x_0, \; |f(x)| \leq M⋅|g(x)| && \iff \limsup_{x→a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < ∞ \\ f(x)=\underset{x→a}{o}(g(x)) & \iff ∀M, ∃x_0, ∀x\geq x_0, \; |f(x)| \leq M⋅|g(x)| &&\iff \lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \\ }$$
Soit le développement de Taylor en zéro $f(x) ≈ T_n(f)(x) := ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ alors $$\al{ f(x) &= T_n(f)(x) + \mathcal{o}(x^{n }) \\ &= T_n(f)(x) + \mathcal{O}(x^{n+1}) \\ }$$