Convertir des opérateurs différentiels dans n'importe quel système de coordonnées
Soient $x$ et $α$ deux systèmes de coordonées qu'on peut voir comme $x(α)$ et $α(x)$.
Chain rule pour une fonction $U: \mathcal{U}→ℂ$ exprimée en coordonnées $α$, ie $U(α)=U(α(x))$ $$\frac{∂U}{∂x_i} = ∑_k \frac{∂U}{∂α_k}\frac{∂α_k}{∂x_i}$$
$$ \al{ ∇_x &= J_x(α)^{T} ⋅ ∇_α \\ ∇_α &= J_x(α)^{-T} ⋅ ∇_x } $$
Écrivons $∇_x$ en coordonnées $α$ $$ ∇_x U = \mat{ \vdots \\ \frac{∂U}{∂x_i}\\ \vdots \\ }_i = \mat{ \vdots \\ ∑_k \frac{∂U}{∂α_k}\frac{∂α_k}{∂x_i}\\ \vdots \\ }_i = \mat{ & \vdots \\ \dots & \frac{∂α_i}{∂x_j} & \dots \\ & \vdots \\ }_{i,j}⋅ (∇_α U) $$
Écrivons $∆_x = ∇_x ⋅ ∇_x$ en coordonnées $α$ $$ \al{ ∆_x &= ∇_x ⋅ ∇_x \\ &= [J_x(α)^T ⋅ ∇_α]^T ⋅ [J_x(α)^T ⋅ ∇_α] \\ % &= J_x(α)^T ⋅ J_x(α) ⋅ ∇_α^T ⋅ ∇_α \\ % &= J_x(α)^T ⋅ J_x(α) ⋅∆_α \\ } $$
Je suis alors très tenté d'écrire
$$
\al{
∆_x
&= [J_x(α)^T ⋅ ∇_α]^T ⋅ [J_x(α)^T ⋅ ∇_α] \\
&= ∇_α^T ⋅ J_x(α)⋅ J_x(α)^T ⋅ ∇_α \\
}
$$
Ce qui est
Une solution serait d'introduire de nouvelles variables $f(\hat{α})|_{\hat{α}=α}$ pour éviter la différentiation, mais ça veut aussi dire que quand on stack des opérateurs différentiels, ça devrient vraiment très moche.
Sinon peut être qu'on peut tout exprimmer en additionnant des fonctions qui enlèvent le surplus de dérivation, ce qui est à mon avis encore plus moche et compliqué.
Soit $x$ un système de coordonnées cartésiennes, et $α$ une sphériques pour $x$. En utilisant $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x²}$ on trouve $$ \al{ \ca{ x_1 &= α_1\cos(α_2)\\ x_2 &= α_1\sin(α_2)\cos(α_3)\\ x_3 &= α_1\sin(α_2)\sin(α_3)\cos(α_4)\\ \vdots \\ x_n &= α_1\left(∏_{k=2}^{n-1}\sin(α_k)\right)\cos(α_{n})\\ } && \ca{ α_1 &= \sqrt{x_1²+...+x_n²} = |x|\\ α_2 &= \arccos\left(\frac{x_1}{|x|}\right)\\ α_3 % &= \arccos\left(\frac{x_2}{|x|\sin(α_2)}\right) % &= \arccos\left(\frac{x_2}{|x|\sqrt{1-\frac{x_1²}{|x|²}}}\right) \\ &= \arccos\left(\frac{x_2}{\sqrt{|x|²-x_1²}}\right) \\ % α_4 % &= \arccos\left(\frac{x_3}{|x|\sin(α_2)\sin(α_3)}\right) % &= \arccos\left(\frac{x_3}{|x|\sqrt{1-\frac{x_1²}{|x|²}}\sin(α_3)}\right)\\ % &= \arccos\left(\frac{x_3}{|x|\sqrt{1-\frac{x_1²}{|x|²}}\sqrt{1-\frac{x_2²}{|x|²-x_1²}}}\right)\\ % &= \arccos\left(\frac{x_3}{\sqrt{|x|²-x_1²-x_2²}}\right)\\ \vdots \\ α_n % &= \arccos\left(\frac{x_n}{|x| ∏_{k=2}^{n-1}\sin(α_k)}\right) &= \arccos\left(\frac{x_{n-1}}{ \sqrt{|x|²-∑_{k=1}^{n-2}x_k²}}\right)\\ % &= \arccos\left(\frac{x_{n-1}}{ \sqrt{|x|²-x_1²-...-x_{n-2}²}}\right)\\ } } $$
Notons $c_k=\cos(α_k)$ et $s_k=\sin(α_k)$ pour alléger $$ \al{ ∇_x &= J_α(x)^{-T} ⋅ ∇_α = \mat{\frac{x_j}{α_i}}_{i,j}^{-1} ⋅ ∇_α \\ &= \mat{ \frac{∂x_1}{∂α_1} & \frac{∂x_1}{∂α_2} & ... & \frac{∂x_1}{∂α_n}\\ \frac{∂x_2}{∂α_1} & \frac{∂x_2}{∂α_2} & ... & \frac{∂x_2}{∂α_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{∂x_n}{∂α_1} & \frac{∂x_n}{∂α_2} & ... & \frac{∂x_n}{∂α_n}\\ }^{-1} ⋅ ∇_α \\ &= \mat{ c_2 & -α_1 s_2 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ s_2c_3 & +α_1 c_2c_3 & -α_1 s_2s_3 & 0 & 0 & ... & 0\\ s_2s_3c_4 & +α_1 c_2s_3c_4 & +α_1 s_2c_3c_4 & -α_1s_2s_3s_4 & 0 & ... & 0\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ \left(∏_{k=2}^{n-1}s_k\right)c_n & α_1\left(∏_{k=2,k≠2}^{n-1}s_k\right)c_2c_n & α_1\left(∏_{k=2,k≠3}^{n-1}s_k\right)c_3c_n & && ... & \frac{∂x_n}{∂α_n}\\ }^{-1} ⋅ ∇_α \\ } $$ Ce qui est tout à fait immonde, mais sur un ordi, ça passe.
Pour calculer $Δ_x$ en coordonnées $α$ on ferait, attention à l'ordre des applications. $$\al{ Δ_x(u) &= ∇_x & ⋅ & [∇_x(u)]\\ &= (J_α(x)^{-T}∇_α) & ⋅ & [(J_α(x)^{-T}∇_α)(u)]\\ } $$
Avec $u=u(α_1)$ une fonction qui a un symétrie sphérique, avec $α_1=\sqrt{x_1²+...+x_n²}$ $$ \frac{∂u}{∂x_j} = ∑_m \comment{\frac{∂u}{∂α_m}}{0 \text{ if } m≠1}\frac{∂α_m}{∂x_j} = \frac{∂u}{∂α_1}\frac{∂α_1}{∂x_j} % = \frac{∂u}{∂α_1}\frac{∂\sqrt{x_1²+...+x_n²}}{∂x_j} = \frac{∂u}{∂α_1} \frac{x_j}{α_1} $$ $$ \al{ \frac{∂²u}{∂x_j²} &= \frac{∂}{∂x_j}\left(\frac{∂u}{∂α_1} \frac{x_j}{α_1}\right) % \\&= % \frac{∂²u}{∂α_1∂x_j} \frac{x_j}{α_1} + % \frac{∂u}{∂α_1} \frac{∂}{∂x_j}\frac{x_j}{α_1} % \\&= % \frac{∂²u}{∂α_1∂x_j} \frac{x_j}{α_1} + % \frac{∂u}{∂α_1} \frac{∂}{∂x_j}x_j(...)^{-1/2} % \\&= % \frac{∂²u}{∂α_1∂x_j} \frac{x_j}{α_1} + % \frac{∂u}{∂α_1}\left[\frac{1}{α_1}-\frac{1}{2} \frac{x_j²}{α_1^3}\right] % \\&= % ∑_m\frac{∂²u}{∂α_1∂α_m} \frac{x_j}{α_m} \frac{x_j}{α_1} % + \frac{∂u}{∂α_1} \left(\frac{1}{α_1} % - \frac{1}{2} \frac{x_j²}{α_1³}\right) % \\&= % \frac{∂²u}{∂α_1²} \left(\frac{x_j}{α_1}\right)^2 % + \frac{∂u}{∂α_1} \left(\frac{1}{α_1} % - \frac{1}{2} \frac{x_j²}{α_1³}\right) \\&= \frac{∂²u}{∂α_1²} \left(\frac{x_j}{α_1}\right)^2 + \frac{∂u}{∂α_1} \frac{1}{α_1}\left(1 - \frac{1}{2} \frac{x_j²}{α_1²}\right) } $$ $$\al{ Δ_xu &= ∑_j \left[ \frac{∂²u}{∂α_1²} \left(\frac{x_j}{α_1}\right)^2 + \frac{∂u}{∂α_1} \frac{1}{α_1}\left(1 - \frac{1}{2} \frac{x_j²}{α_1²}\right) \right] \\&= \frac{∂²u}{∂α_1²} + \frac{∂u}{∂α_1} \frac{1}{α_1} ∑_j \left(1 - \frac{1}{2} \frac{x_j²}{α_1²}\right) \\&= \frac{∂²u}{∂α_1²} + \frac{∂u}{∂α_1} \frac{n - \frac{1}{2}}{α_1} % \\&= % \frac{∂²u}{∂α_1²} % + \frac{∂u}{∂α_1} \frac{n}{α_1} % - \frac{1}{2} \frac{1}{α_1} \frac{∂u}{∂α_1} ∑_j \left( \frac{x_j²}{α_1²}\right) % \\&= % \frac{∂²u}{∂α_1²} % + \frac{∂u}{∂α_1} \frac{n-\frac{1}{2}}{α_1} } $$
Je crois qu'il y a une erreur dans mon calcul car j'attends $n-1$ au lieu de $n-1/2$