résumé chapitre 2
Maxwell: $$\al{ ∇⨯E = \frac{∂B}{∂t} &&& ∇⋅D = ρ_f \\ ∇⨯H = J + \frac{∂D}{∂t} &&& ∇⋅B = 0 \\ }$$
On considère $$\al{ D = ε_0 E + P \\ B = μ_0 H + M \\ }$$
En appliquant $∇⨯$ sur la relation $∇⨯E = \frac{∂B}{∂t}$ et en définissant $c²:=\frac{1}{μ_0ε_0}$ $$ ∇⨯(∇⨯E) = \frac{1}{c²}\frac{∂²E}{∂t²} - μ_0 \frac{∂²P}{∂t²} $$
En général $P$ a besoin d'être un champ quantique. Mais pour une fibre optique traversée par une source $λ∈[0.5,2]$[μm] on peut se satisfaire avec simplement une relation classique d'ordre 3. $$ P = ε_0 (χ^{(1)}⋅E + χ^{(2)}⋅E,E + χ^{(3)}⋅E,E,E) $$
$P$ peut être décomposé en $P(x,t)=P_L(x,t)+P_{NL}(x,t)$ soit linéaire et non-linéaire comme $$ \ca{ P_L(x,t) = ε_0 ∫_{-∞}^{∞}χ^{(1)} (t-τ)⋅E(x,τ)dτ \\ P_{NL}(x,t) = ε_0 {∫∫∫}_{-∞}^{∞}χ^{(3)} (t-τ_1,t-τ_2,t-τ_3)⋅E(x,τ_1),E(x,τ_2),E(x,τ_3)dτ_1dτ_2dτ_3 } $$
Ces relations sont valables pour l'approximation electric-dipole [TBD], et que la réponse du milieu est locale.
Regardons dans l'espace Fourier
$$\al{
\tilde{E}(x,ω) &:= ∫_{-∞}^∞E(x,t)e^{iωt}dt \\
E(x,t) &= \frac{1}{2π} ∫_{-∞}^∞\tilde{E}(x,ω)e^{-iωt}dω \\
}$$
le cas linéaire ($P_{NL}=0$)
avec $ε(ω):=1+\tilde{χ}^{(1)}(ω)$
où $\tilde{χ}^{(1)}(ω):=F[χ^{(1)}](ω)$
$$
∇⨯∇⨯\tilde{E}(x,ω) - ε(ω) \frac{ω²}{c²}\tilde{E}(x,ω) = 0
$$
On peut décomposer $ε(ω)$ en indice de réfraction $n(ω)$ et coefficient d'absorption $α(ω)$
$$ \al{
ε(ω) &= (n+iαc/2ω)² \\
n(ω) &= 1+ \frac{1}{2} Re[\tilde{χ}^{(1)}(ω)]\\
α(ω) &= \frac{ω}{nc}Im[\tilde{χ}^{(1)}(ω)]\\
} $$
Quand $α$ est négligeable par rapport à $n$, ce qui est souvent le cas dans les fibres d'aujourd'hui on trouve $ε(ω) = n²(ω)$
$$∇⨯∇⨯E = ∇\cancel{(∇⋅E)} - ∇²E$$
Et donc finalement
On peut faire quelque chose de similaire pour $H$.
Avec Maxwell, on constate que $E$ et $H$ n'ont que 2 composantes parmis 6 de libres.
On peut choisir d'exprimmer $\tilde{E}_ρ,\tilde{E}_ϕ,\tilde{H}_ρ,\tilde{H}_ϕ$ en terme de $\tilde{E}_z$ et $\tilde{H}_z$. Ainsi on peut résoudre l'équa diff précédente par séparation de variable et obtenir
$$
\tilde{E}(x,ω) = A(ω)F(ρ)e^{\pm imϕ}e^{iβz}
$$
où $A$ facteur de normalisation,
$β$ constante de propagation,
$m$ un entier,
$F(ρ)$ solution de
$\frac{d²F}{dρ²}+\frac{1}{ρ}\frac{dF}{dρ} + \left( n²k_0² - β² - \frac{m²}{ρ²} \right)F=0$
en notant que $n=n_1$ ou $n_2$ selon si $ρ < a$ ou non (dans quel coeur de la fibre on se trouve).
On notera aussi que
$$
F(ρ) = C_1 J_m(κρ) + C_2 N_m(κρ)
$$
où $J_m$ est la fonction de Bessel,
$N_m$ la fonction de Neumann
$κ:=\sqrt{n_1²k_0²-β²}$
$C_1$ et $C_2$ sont des constantes venant des conditions de bord,
$N_m(κρ)$ a une singularité en $ρ=0$, ce qui impose $C_2=0$ pour être physiquement sensé. Et en absorbant $C_1$ dans $A$ on peut se contenter de $$ \al{ F(ρ)= J_m(κρ) }$$
Dans le coeur extérieur, on s'attend à un décay exponentiel en $ρ$. On introduit $K_m$ la fonction de Bessel modifiée $K_m$ $$ \al{ F(ρ)= K_m(γρ) }$$ où $γ:=\sqrt{β²-n_2²k_0²}$
Avec la continuité en $ρ=a$, on peut formuler un problème d'eigen value en la constante de propagation $β$. $$ \left[ \frac{J_m'(κa)}{κJ_m(κa)} + \frac{K_m'(κa)}{γK_m(κa)} \right] \left[ \frac{J_m'(κa)}{κJ_m(κa)} + \frac{n_2²}{n_1²}\frac{K_m'(κa)}{γK_m(κa)} \right] = \left( \frac{mβk_0(n_1²-n_2²)}{an_1κ²γ²} \right)^2 $$ où on a dû utiliser la relation $κ²+γ² = (n_1²-n_2²)k_0²$ pour le faire (un peu black magic ce truc)