La somme de Ramanujan permet de "calculer" des séries divergentes par cette définition $$ ∑_{k=1}^∞ f(k) ≈ \mathcal{R}(f) = -\frac{f(0)}{2} + i ∫_0^∞ \frac{f(it)-f(-it)}{\exp(2πt)-1}dt $$
Donc voici une question stupide : en utilisant aveuglément les sommes de Ramanujan, qu'est ce qui se passe pour $$ ∑_{k=0}^∞ (n\mod p_k)$$ où $p_k$ est le $k$-ème nombre premier.
Regardons quelques entiers et leur modulos. Il faut imaginer qu'on va sommer verticalement dans la table suivante.
Évidemment cette somme diverge, mais par la magie de la sommation de Ramanujan, on peut déjà voir que $ ∑_{k=1}^∞ 1 $ peut être vu comme la somme de la fonction constante $f(k)=1$. Donc $$ ∑_{k=1}^∞ 1 = -\frac{1}{2} + i ∫0 = -\frac{1}{2}$$
Et en essayant un peu de calculer quelques termes, on se rend compte que ça n'a pas tellement d'intérêt de considérer la somme de Ramanujan. On voit qu'on ne fait que $$-\frac{n}{3}-∑_k\left\lfloor \frac{n}{p_k}\right\rfloor$$ où $k$ va de $0$ à la valeur telle que $p_k \leq n$
Mais il faudrait quand même vérifier que mon raccourcis marche... je ne suis pas sûr que la sommation de Ramanujan de suite (dont la série converge) arrive au même endroit que sa série... Il faudrait aussi savoir dans quelle mesure $\mathcal{R}(f+g) = \mathcal{R}(f) + \mathcal{R}(g)$
What about $$∑_k (p_k \mod n)$$
Et là c'est compliqué... si on regarde juste $$∑_k (p_k \mod p_n)$$
Ce qui donne très envie de "centrer" modulo $p_n$ $$ ∑_k \left[ \left(p_k + \left\lfloor\frac{p_n}{2}\right\rfloor\right) \mod p_n \right] - \left\lfloor\frac{p_n}{2}\right\rfloor $$